山形県米沢市の高校・大学受験塾 松本学習塾のブログ

山形県米沢市の高校・大学受験塾 松本学習塾の塾長が記すブログです。勉強方法やその他のことなど、独断と偏見ではありますが役に立つ情報をつづっていきます。

数学:三角関数:基礎:「三角関数の不等式」

今回は「三角関数」の基礎問題を解説します。

テーマは「三角関数の一般解の求め方:基礎レベル」です。

まずは問題の画像です。

これを解いてみてください。

(1分考えても解法が思いつかなければすぐ解説を見てください)

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以下、解説です。

 

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三角関数の基礎でつまずく人は、

sinθ=1,1/2 などのθの値までは求められるかもしれませんが、

それ以降をどのように処理したらいいかがわからない人が多いかと思います。

とりあえずざっくりと暗記事項を言っておくと、

sinθ=1 というのは90°のことを意味します。

sinθ=-1なら、270°を指します。

また、cosθ=1なら0°あるいは360°を指します。

また、sinθ=1/2のように、sinθ=??やcosθ=??を見たら、

「円グラフ上での座標を言われているんだ」と解釈してください。

cosθ=1という数値なら、x軸上のx座標1のことを言っているのだと解釈するのです。座標成分で示すと(1 ,0)のことです。

cosθ=-1なら(-1,0)のことです。

sinθ=1/2という数値なら、「y座標(高さ)が1/2のことを言っているのだな」と解釈してください。

改めてまとめると

「円グラフにおいては、cosθは横を表し、sinθは縦(高さ)を表している」

という感じです。

こういう捉え方で、他の問題の円グラフを解釈しなおしてみると、意外と理解できたりすると思います。

例外はたくさんあるかもしれませんが、大体はこういう解釈でなんとかなるケースが多いかと思います。

数学は、このような「自分なりの言語化」が超大事です。

数学は言語化の学問です。

これは意外と学校の授業では語られないことです。

皆さんも、数式だけで数学を理解するのではなく、自分なりの解釈や解説を教科書や問題集にガリガリ書き込みながら解いてみたり、行き詰ったりしてみてください。

私自身が持っている参考書や問題集は、書き込みだらけで非常に汚いです。

でも、そのおかげで自分の解釈や見つけられた正しいルートをすぐに読み込めるので、時間がかなり節約できています。

ゲームで言うところのセーブデータを紙のページに貼り付けまくっているイメージです。

皆さんの参考になれば幸いです。

 

松本学習塾では、無料で受験相談を実施しています。

入塾の必要はありません。

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数学:三角関数:基礎:「三角関数の一般解の求め方」

山形県米沢市の高校・大学受験塾 松本学習塾です。

 

今回は「三角関数」の基礎問題を解説します。

テーマは「三角関数の一般解の求め方:基礎レベル」です。

まずは問題の画像です。

これを解いてみてください。(1分考えても解法が思いつかなければすぐ解説を見てください)

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以下、解説画像になります。

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三角関数の一般解を求める問題では、手順が重要です。

苦手な人は、慣れるまでは次の手順を必ず踏んでください。

 

①式の数値を参考にして、まず三角形を描いてみる。

②次にその三角形を円の図に描き起こしてみる。

 

数学で図形がからむ分野が苦手だと言う人は、多くの場合、

問題を解く際に、図を描いていないことが多いです。

とにかくビジュアルで把握することが大事です。

 

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数学:三角関数:基礎:「三角関数の式計算の基礎」

山形県米沢市の高校・大学受験塾 松本学習塾です。

 

今回は「三角関数」の基礎問題を解説します。

テーマは「三角関数の式計算:基礎レベル」です。

まずは問題の画像です。

これを解いてみてください。(1分考えても解法が思いつかなければすぐ解説を見てください)

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以下、解説画像になります。

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三角関数の式の計算では、sin²θ+cos²θ=1がかなり活躍するので、

うまいことそういう形に持っていけるように式をいじってください。

「ようわからんけど、とりあえず両辺を2乗とかしてみるか」

みたいなことをやっているとそのうちsin²やcos²が出現するので、そういう感じで臨んでみてください。

「とりあえずこれを試しみてるか」が数学では重要です。

 

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「学校から配布されている教科書とワークで理解できないうちの子が駄目なんでしょうか?」

山形県米沢市の高校・大学受験塾 松本学習塾です。

 

今回は、学校から配布されている教科書とワークについて語りたいと思います。

タイトルにもある通り、

「成績がいい子は特に勉強しなくても、学校の教科書やワークだけで理解できているみたいなんですが、うちの子はそれができなくて。学校からの教科書やワークだけで理解できないうちの子はやっぱり駄目なんでしょうか?」

という相談内容は結構多いです。

 

結論を述べますと、そんなことは全くありません。

むしろ駄目なのは教科書とワークのほうです。

以下、詳細を説明しようと思います。

 

学校から配布される文科省指定の教科書とワークは、正直使いづらいです。

最低限の基礎内容が凝縮されている書籍であり、一応これをなぞれば基礎内容は習得できるという体で作成されています。

しかし、そうは言ってもあの薄さと文字の少なさなので、どうしても解説部分が不足しています。

現在入塾している学生からも「先生、この問題ってなんでこうなるんですか?」などの質問は多いです。

ざっくばらんに言ってしまえば、

「初学者が一人で読んでも理解できない内容」

というのが学校から配布された教科書の実態です。

1人で読んでも理解しづらい内容で、解説が不足しているのですから、ちょっと授業についていけない部分がある学生が教科書を開いて、つまずいた部分を取り戻そうと思ってもなかなか困難になります。

そういうことが積み重なって、大きな成績不振につながっていきます。

私個人の見解としては、あんな不親切な教科書は不採用にして、市販の、良質の参考書を教科書として採用したほうがよほど学生のためになると思うのですが、不思議とそうはなりません。

これはワークについても同様です。

ワークにも一応解説はついていますが、全体的にそれが当てはまるかと言うとそうでもありません。解説量が不足している部分が多々見受けられます。

 

改めて結論を述べますと、

「学校配布の教科書とワークは解説量が不足しているので、勉強が苦手な子がこれを使って遅れた分を取り戻そうと思ってもほぼ不可能」

ということになります。

教科書とワークだけでよい成績を得られないからと言って落ち込む必要は全くありません。

私個人も学生当時、教科書やワークの味気無さとわかりづらさに辟易していました。

駄目なのは学生ではなく、教科書とワークのほうです。

 

松本学習塾では、良質の参考書と問題集のみを厳選して使用しています。

「良質」というのは、解説が充実しており、実力を養成するのに十分な問題数を掲載していることを指します。

無料学習相談も随時受け付けておりますので、お気軽にご連絡ください。

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数学:図形と式:実力:「2次関数の頂点の軌跡、と範囲指定」

山形県米沢市の高校・大学受験塾 松本学習塾です。

 

今回は「図形と式」の基礎問題を解説します。

テーマは「2次関数の頂点の軌跡、と範囲指定:入試レベル」です。

まずは問題の画像です。

これを解いてみてください。(3分考えても解法が思いつかなければすぐ解説を見てください)

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以下、解説になります。

まず(1)です。

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次に(2)です。(画質が悪くてすみません)

 

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軌跡系の問題を解く時の基本的な流れは、他の問題でも述べている通り、以下のようになります。

①まず、軌跡の大枠の式を求める。 

 (y=~ や、x²+y²=~ などの形になる。)

②次に、問題文における条件や範囲(t≧0 や、k などの、xやy以外の文字についての範囲)を用いて、①で求めた大枠の式の該当部分を求める。

まず①大枠を求める②次に問題文の条件を適用する

この鉄板パターンを暗記してください。数学は暗記です。

 

軌跡系の問題を解く時のコツは、

「tやk などの、xやy以外の文字を消すために連立と代入し、xとyだけで構成された式をまず作る。(大枠の式を作る)」

です。解説画像にも書きましたが、とにかくxとyのみで構成された式(大枠)を、あの手この手を駆使して作ることを考えてください。

これも画像内に書きましたが、「軌跡を求めよ」と問われているのだから、

提出する回答は、軌跡の式の形式(y=~x、x²+y²=~などの形)でなければなりません。そのために、xとy以外の文字をうまく消す方向で考える必要があります。

以上です。

 

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数学:図形と式:基礎:「2次関数の頂点の軌跡、と範囲指定」

山形県米沢市の高校・大学受験塾 松本学習塾です。

 

今回は「図形と式」の基礎問題を解説します。

テーマは「2次関数の頂点の軌跡、と範囲指定」です。

まずは問題の画像です。

これを解いてみてください。(1分考えても解法が思いつかなければすぐ解説を見てください)

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以下、解説画像です。

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軌跡系の問題を解く時の基本的な流れは以下のようになります。

①まず、軌跡の大枠の式を求める。 

 (y=~ や、x²+y²=~ などの形になる。)

②次に、問題文における条件や範囲(t≧0 や、k などの、xやy以外の文字についての範囲)を用いて、①で求めた大枠の式の該当部分を求める。

 

軌跡系の問題を解く時のコツは、

「tやk などの、xやy以外の文字を消すために連立と代入し、xとyだけで構成された式をまず作る。(大枠の式を作る)」

です。

本問の場合、x=-t+5 を、t=~ の形に変形して他の式に代入し、

tを消してxとyだけの式を作って解いています。

tやkなどの文字を見ると苦手意識が湧く人が多いかと思いますが、

とりあえずはそれらを消すためにはどう式を操作していくべきか、を考えると少しは苦手意識が減るかと思います。

以上です。

 

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数学:図形と式:基礎:「共有点の数と座標を求めろ」

山形県米沢市の高校・大学受験塾 松本学習塾です。

 

今回は「図形と式」の基礎問題を解説します。

テーマは「共有点の数とその座標を求める」です。

まずは問題の画像です。

これを解いてみてください。(1分考えても解法が思いつかなければすぐ解説を見てください)

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問題

次に、解説の画像を表示します。

(1)の解説です。

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(2)の解説です。

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(3)の解説です。

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基本手順

①2つの式(円と直線など)を連立して代入し1つの式にまとめる

②まとめた1つの式に判別式をかけてDの値をマイナス、0、プラスで判定して共有点の個数を求める。 

 

 

今回の「よく使うコツ」

 

・「AとBの共有点を求めろ、と問われたら2つの式を連立して代入する、1つの式を作る」

 

共有点や交点という文言を見かけたら「とにかく連立して代入」です。
あとは、解く前に自分なりに図を描く癖を必ずつけてください。下手でよいので。

図形と式に限らず、図が描けるものは必ず描いてから解いて下さい。

数学に苦手意識を持っている人に限って図を描かないことが多いです。

とにかく描いて、数式だけでなくビジュアル面からも問題を把握することを怠らないで下さい。

 

以上です。

松本学習塾では、無料で受験相談を承っております。

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