数学カルテpart3：高校数学「空間ベクトルにおける法線ベクトルは原点Ｏを起点にして計算したほうがいいですか」 - 山形県米沢市のオンライン高校・大学受験塾「伝説の松本学習塾」のブログ

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今回は、数学カルテです。
単元は空間ベクトルです。
それでは診断と処方を記していきます。

当塾では、塾生からLINEで随時質問を受け付けており、以下のような質問がありました。

塾生からの質問内容は以下の通りです。
「空間ベクトルにおける法線ベクトルは、どうして原点を起点とした記号で考えるのか？原点以外を起点とした場合の法線ベクトルは考えないのか」
です。

回答としては

「別にどこを起点にして考えてもいいが、原点Oで考えたほうが計算が早いし
　記号表示的にも把握しやすくて楽」

です。

以下、詳しく触れていきます。

x,y,zの各成分の計算ですが、これはやはり原点(0,0,0)を関わらせたほうが
圧倒的に楽です。
画像内の問題を例に説明していきます。
点O(0,0,0)、点A(0,-2,1)からなるベクトルOAを考えます。
ベクトルOAの成分計算は次のようになります。
(0-0,-2-0,1-0)→（0,-2,1)です。
これは至極当たり前の結果ですが、
全ての成分が０である座標を起点に考えたほうが、
計算が圧倒的に楽です。

また、原点O以外の点を起点に考えなくてもいいのかという疑問については、

「考えなくてよい。なぜなら、どこを起点にしても同じ結果になるから」

という回答になります。
画像内右上に映っている３D作図を用いて説明します。
この作図において、該当ページの問題である法線ベクトルの成分計算を、
仮に点Aを起点にして実行すると、
ベクトルAB、AOを用いて計算する形になります。
詳しい計算は割愛しますが、
AB=(1,5,-1),AO=(0,2,-1)
n=(a,b,c)とおくと、
直交の関係性を利用して、
n・AB=(1xa,5xb,-1xc)=0
から、a+5b-c=0 →a=c-5b…①

n・AO=(0xa,2xb,cx-1)＝0
から、2b-c=0　 →c=2b…②

②を①に代入すると
a=2b-5b　→　a=-3b…③
になります。
そしてこれら②、③をn=(a,b,c)に代入すると、
n=(-3b,b,2b)となり、画像内に印字されている解説の
「点Ｏを起点とした場合の計算」と同じ結果になります。
（赤いマーカーで少し隠れて見えにくくなっていますが）

このように、

「点Ｏを起点にしても他の点を起点にしても、計算結果は同じ」

になりますので、

「それならば、記号表示も楽で把握しやすく、
　成分計算も楽な点Ｏ（原点）を起点にした解法のほうが合理的である」

という結論になります。

まとめです。
症状：法線ベクトルの計算で、起点とする点をどう選べばいいのか。
処方：記号表記上の楽さと、成分計算の楽さの観点から考えて
　　　原点O(0,0,0)を起点にしたほうがよい場合が多い

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